Gọi Q là giao điểm của PA và (O₂). Do \(\widehat{O_1AP}=\widehat{O_1PA}=\widehat{O_2PQ}=\widehat{O_2QP}\) nên O₁A//O₂Q

 Mặt khác, \(BC\perp O_1A\) (vì BC là tiếp tuyến tại A của (O₁) nên \(BC\perp O_2Q\)

 \(\Rightarrow\) Q là điểm chính giữa của cung nhỏ BC 

 \(\Rightarrow\) PQ là tia phân giác \(\widehat{BPC}\) \(\Rightarrow\) đpcm

Từ O₁ kẻ O₁H vuông góc với O₂C tại H. Vì R₂ > R₁ nên ta được O₁BCH là hình chữ nhật

và : O₂H = R₂ - R₁ = 2 

\(cos\widehat{O_1O_2H}=\frac{O_2H}{O_1O_2}=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}\Rightarrow\widehat{O_1O_2H}=\alpha\)(Bạn bấm máy tính để tìm giá trị góc này, còn mình đặt là \(\alpha\)cho dễ nhìn)

\(\Rightarrow\widehat{BO_1O_2}=180^o-\alpha\)(BO₁ // CO₂)

\(AB=\sqrt{2R^2_1-2R_1^2.cos\left(180^o-\alpha\right)}=m\)

\(AC=\sqrt{2R_2^2-2R_2^2.cos\alpha}=n\)

Gọi \(S_1\) và \(S_2\) lần lượt là diện tích hình quạt \(O_1AB\) và \(O_2AC\) thì ta có : 

\(S_1=\frac{\pi.R_1^2.\left(180^o-\alpha\right)}{360^o}\) ; \(S_2=\frac{\pi.R_2^2.\alpha}{360^o}\)

\(S_{\Delta O_1AB}=\frac{1}{2}.R_1^2.sin\left(90^o-\alpha\right)\); \(S_{\Delta O_2AC}=\frac{1}{2}R_2^2.sin\alpha\)

Diện tích hình viên phân giới hạn bởi AB là : \(S'=S_1-S_{\Delta O_1AB}=x\)

Diện tích hình viên phân giới hạn bởi AC là : \(S''=S_2-S_{\Delta O_2AC}=y\)

Diện tích tam giác ABC nằm ngoài cả hai đường tròn đã cho là : 

\(S_{ABC}-S'-S''=\frac{1}{2}m.n-x-y\)

HÌNH VẼ ĐÂY :

Thứ nhất: $(O_1); (O_2)$ tiếp xúc nhau tại $A$ chứ không phải tiếp tuyến tại $A$. 

Thứ hai: $(O_1)$ và $(O_2)$ tiếp xúc trong, tiếp xúc ngoài hay đề chỉ nói chung chung là tiếp xúc thôi hả bạn? 

tớ chỉ làm đc 1 bài (bài 3)

mờ kinh luôn!! Thôi thì cứ vừa đọc vừa đoán ^^!

a) kéo dài O₁E,O₂F cắt CD ở M và N 

b) góc BFI + góc BEI =180 

c) gọi AB cắt EF ở K 

bằng đồng dạng ta chứng minh được KE=KF=KB.KA(đpcm)

ta có : Góc CAB = GÓc PQG ( 2 góc đối đỉnh ) . theo tính chất của góc nt , taco : Góc CBA = 1/2 cung AC . Góc APQ = 1/2 sd AQ(1) . theo t/c của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung ta có ; GÓC CBA = 1/2 cung AC . APQ + 1/2 sđ AQ ( 2) . TỪ (1) , ( 2 ) => GÓC CBA = APQ . mà 2 góc này ở vị trí soletrong = > BC song song với QP

xAC=QAy(hai góc đối đỉnh)

theo tính chất của 2 góc được tạo bởi tia tiếp tuyến

=> xAC=1/2sđ cung AC,QAy=1/2sđ cungAQ(1)

theo tính chất của góc nội tiếp,ta có

=> ABC=1/2 sđ cung AC,APQ=1/2sđ cung AQ(2)

từ (1),(2)=> ABC=APQ

=> QP//BC

Kẻ tiếp tuyến chung tại A của hai đường tròn (O) và (O')

có góc xAC= góc QAy( 2 góc đối đỉnh )

theo tính chất của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung ta có: góc CAx=1/2 sđ cung CA; góc yAQ=1/2 sđ cung AQ

theo tính chất của góc nội tiếp ta có : góc CBA=1/2sđ cung CA; góc APQ=1/2sđ cung AQ

=> góc CBA= góc APQ=> PQ//BC(ĐPCM)

có góc AQB= 90 độ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn tâm O) Hay góc AQP=90 độ => góc QAP= 90 độ- góc QPA=90 độ-1/2sđ cung AP

có góc APC= 90 độ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn tâm O1)=> góc PAC=90 độ - góc PCA=90 độ - 1/2sđ cung AP

Vì vậy góc QAP= góc PAC hay AP là tia phân giác của  góc QAB

Ta có: góc BQA =90^o (góc nội tiếp chắn nửa (O))

Xét Δ PQA vuông tại Q có: góc QAP + góc QPA =90^o ⇒ góc QAP=90^o- góc QPA 

Mà góc QPA =1/2 sđ cung PA ( góc QPA là góc tạo bởi tia tiếp tuyến cà dây cung chắn cung AP của (O1))

⇒góc QAP=90^o- 1/2 sđ cung PA (1)

Xét ΔCPA vuông tại P ( vì góc CPA là góc nội tiếp chắn nửa (O1)) có

góc PCA + góc PAC =90^o⇒góc PAC =90^o-góc PCA 

mà góc PCA =1/2 sđ cung PA ( góc nội tiếp chắn cung PA )

⇒góc PAC= 90^o-1/2 sđ cung PA (2)

Từ (1) và (2) ⇒ góc QAP=góc PAC ⇒ AP là tia phân giác của góc QAB

Vì góc AQP là có nội tiếp chắn nửa đường tròn của (O)

=> góc AQP= 90 độ

xét Δ AQP vuông tại Q có:

 góc QAP+ góc QPA= 90 độ

Vì góc CPA là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn của (O₁)

=> góc CPA= 90 độ

Ta có: góc BPC+ góc CPA+ góc APQ= 180 độ

=> góc BPC + 90 độ+ góc APQ= 180 độ

=> góc BPC+ góc APQ= 90 độ

=> góc QAP= góc BPC( cùng phụ với góc APQ)

Lại có: góc BPC là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung chắn cung PC của (O₁)

            góc PAC là góc nội tiếp chắn cung PC của (O₁)

=> góc BPC= góc PAC

=> góc QAP= góc PAC( cùng = góc BPC) 

=> AP là tia phân giác của góc QAB( đpcm)